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El teorema de Noether tiene un siglo de antigüedad.

abril 16, 2020
profesor-de-fisica - fsica frases

En dos palabras, el teorema de Noether vincula las leyes de la conservación con la simetría de las leyes de la física.Hace un siglo, en 1918, el matemático Emmy Noether publicó un resultado tan importante para la física que Einstein lo llamó «un monumento al pensamiento matemático».

Leyes de conservación

Durante varios siglos, los científicos han notado que ciertas propiedades de un sistema físico permanecen constantes durante sus transformaciones, dando lugar a la mayor cantidad de leyes de conservación.

El más conocido es sin duda el principio de Lavoisier:

… Porque no se crea nada, ni en las operaciones del arte, ni en las de la naturaleza, y podemos afirmar en principio que, en cualquier operación, hay una cantidad igual de materia antes y después de operación que la calidad y cantidad de los principios es la misma, y ​​que solo hay cambios, modificaciones. [1]

Pero no es correcto. Parecía muy valioso hasta el descubrimiento de la radiactividad y la relatividad, que permiten que la masa varíe. Pero al incorporar el famoso E = m.c², se convirtió en el famoso principio de conservación de energía. El principio de conservación del impulso es aún más antiguo, ya mencionado por Galileo en el siglo XVII. Más bien, se llama «inercia hoy: en ausencia de fuerzas, los cuerpos tienden a continuar su trayectoria en línea recta, a velocidad constante.   A estas tres leyes de la mecánica clásica se agrega la conservación de la carga eléctrica y la del flujo magnético en el electromagnetismo, y en la física de partículas, la conservación de la carga de color y las del número bariónico y el número leptónico describen las transformaciones. Partículas «permitidas». Este párrafo, pero también la jerga común de los físicos, combina alegremente las nociones de «ley física» y «principio físico». Este es un primer efecto del teorema de Noether: históricamente un principio es «una ley aparente que ninguna experiencia ha invalidado hasta ahora aunque no se haya demostrado». Pero precisamente, Emmy Noether ha demostrado que estos principios fluyen de la simetría y, por lo tanto, pueden considerarse como leyes.

Simetría en física

En matemáticas, la simetría es una noción más general que la reflexión en un espejo: incluye todas las transformaciones que preservan la «estructura» de un objeto. En geometría, las traslaciones y rotaciones también son simetrías, y como Pierre Curie había predicho en 1894, esta noción puede extenderse a la física:

Creo que sería beneficioso introducir en el estudio de los fenómenos físicos las consideraciones de simetría familiares para los cristalógrafos. […] Los físicos a menudo usan las condiciones dadas por la simetría, pero generalmente descuidan definir la simetría en un fenómeno. […] Dos entornos de la misma disimetría tienen un vínculo particular entre ellos, del que pueden extraerse consecuencias físicas. [2]

De hecho, una simetría corresponde matemáticamente a un automorfismo, que es una generalización de una biyección de un conjunto en sí mismo. Cuando este conjunto es espacio euclidiano, encontramos simetrías geométricas, pero también podemos considerar en su conjunto el campo eléctrico o el espacio de Minkowski en el que las transformaciones de Lorentz definen simetrías. Entonces, por ejemplo, «simetría por traducción en el tiempo» es la forma científica de decir que si no haces nada por un segundo, una papa sigue siendo una papa.

Noether y su teorema

Nacida en 1882, Amalie «Emmy» Noether es hija del matemático Max Noether, muy conocido en ese momento. Muy talentosa, dejó de convertirse en profesora de francés o inglés para estudiar matemáticas. Después de una tesis en 1907, trabajó como voluntaria en la Universidad de Erlangen porque las mujeres no podían conseguir un trabajo allí. Descubierta por LE David Hilbert (nacido en Königsberg …), se unió a él en la Universidad de Gotinga (donde allí tampoco fue aceptada como profesora …) en 1915. De hecho Hilbert lo entendió invitado para aprovechar su experiencia en teoría invariante para ayudarlo a aclarar ciertos aspectos matemáticos de relatividad general por Einstein, también publicado en 1915. Hilbert había notado que la relatividad parecía violar el principio de conservación de energía, la energía gravitacional puede crear una fuerza de atracción *. Noether ofrece una explicación de esta paradoja, y se desarrolló en esta ocasión. su famoso primer teorema que demostró en 1915, pero no publicó hasta 1918 [3]. Al recibir su trabajo, Einstein le escribió a Hilbert:

Ayer recibí un artículo muy interesante sobre invariantes de la señorita Noether. Me impresionó el nivel de generalidad proporcionado por este análisis. La vieja guardia de Gotinga debería tomar lecciones de la señorita Noether; ella parece dominar el tema!

Después de eso, finalmente fue nombrada Docente Privada, pero aún no era profesora … Entonces, ¿qué dice él, este famoso teorema? El dice :

Cualquier transformación infinitesimal que deja al Lagrangiano de un sistema invariante en una derivada de tiempo total corresponde a una cantidad física conservada.

En otras palabras: si una transformación no cambia las leyes de la física (que puede escribirse en forma de un Lagrangiano **), entonces hay un valor medible que permanece constante en cualquier caso. El teorema de Noether, por lo tanto, demuestra matemáticamente la equivalencia entre el hecho de que las leyes de la física permanecen constantes de acuerdo con ciertas transformaciones y la existencia de las leyes de conservación correspondientes. Por ejemplo, dado que podemos hacer experimentos que dan el mismo resultado sea cual sea nuestra orientación en el espacio (este es el caso porque el espacio es isotrópico, entonces existe una cantidad que se conserva cuando un sistema está en Este conocido tamaño de patinadores es el momento cinético

El legado

Cazada por los nazis, Emmy Noether siguió su carrera en los Estados Unidos, donde ya murió en 1935, a los 53 años, después de una operación. Por lo tanto, no vio que la notoriedad de su resultado aumentara dramáticamente a partir de la década de 1970. Como a menudo, se necesita un trabajo increíble para ser reconocido:

 

Número de menciones de Emmy Noether en la literatura (Google NGrams)

El hecho es que el teorema de Noether se ha convertido en una herramienta fundamental en la física teórica, no solo por la luz que proporciona a las leyes de conservación, sino también como un método efectivo de cálculo.. Además, facilita el estudio de nuevas teorías: si dicha teoría tiene simetría, el teorema garantiza la existencia de una invariante, que debe ser experimentalmente observable. ¡La lección para la «vida cotidiana» es que Emmy Noether ha demostrado que la energía no es una cosa! La «energía pura» no existe. La energía es solo un número que permanece constante durante todas las posibles transformaciones de un sistema, y ​​este número existe porque las leyes de la física no varían con el tiempo (= «invariancia por traducción en el tiempo»). Así que esta es una cuarta y excelente razón para decir «No al movimiento perpetuo» ya todos los dulces soñadores de sistemas «surunitarios» que producirían (condicionalmente) más energía de la que consumen (presente): Si! ¡El primer principio de la termodinámica ha sido demostrado durante un siglo, y por una dama adicional! Notas: * Usé pasajes de la wikipedia que no podrían haberse dicho mejor … ** El teorema de Noether se extendió «fácilmente» a los hamiltonianos más utilizados en mecánica cuántica, física estadística, etc.

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