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El muy mal entendido problema de Monty Hall

junio 5, 2020
profesor-de-matematicas - clases de matematicas financieras

Introducción

El problema de Monty Hall en sí mismo es muy fácil de plantear: un competidor se enfrenta a una elección de tres puertas. Detrás de una puerta hay un automóvil; mientras que detrás de cada una de las otras dos puertas hay una cabra. El concursante primero elige una de las tres puertas. Una vez que el concursante ha hecho una elección, el presentador del programa de juegos (quién sabe qué hay detrás de todas las puertas de antemano) abre una de las dos puertas restantes para revelar una cabra. El concursante tiene la oportunidad de seguir con su elección inicial o cambiar a la otra puerta restante sin abrir.

Estudios repetidos han demostrado que la mayoría de las personas deciden seguir con su elección original en lugar de cambiar. Parece que muchas personas se sienten motivadas para permanecer con su « elección intestinal '' inicial. Además, la decisión a menudo se refuerza con el supuesto (aunque incorrecto) de que existe una división equitativa en las posibilidades de ganar entre permanecer con la elección original o cambiar a la otra puerta.

Al igual que el culo de Buridan

Muchos (incorrectamente) ven el situación en la etapa final del juego como similar a la elección que enfrenta el trasero de Buridan, que a menudo se usa como una ilustración en filosofía para resaltar una aparente paradoja en la concepción del libre albedrío . Aquí, el culo de Buridan se coloca equidistante de dos pacas de heno idénticas; uno a su izquierda y otro a su derecha. Como aparentemente no hay nada que distinga una paca de heno de la otra, el asno se queda fijo, incapaz de elegir entre las dos pacas idénticas, y finalmente muere de hambre.

En el caso de nuestro concursante de programa de juegos, sin embargo, la agonía de verse obligado a elegir entre dos opciones aparentemente indistinguibles se alivia con la comodidad o conveniencia de que se le permita seguir con la decisión inicial. . Además, se evita el trauma que podría experimentarse al haber tomado originalmente la decisión correcta, solo para saber más tarde que se modificó en el último momento.

La evidencia parece sugerir que las personas (que desconocen la mejor estrategia) eligen permanecer con su elección inicial incluso cuando se les da la oportunidad de cambiarla. ¡Desafortunadamente, y quizás sorprendentemente, esto significa que habrán reducido sus posibilidades de ganar el automóvil en un cincuenta por ciento! Las posibilidades de ganar el auto siempre se incrementan, de hecho se duplican, al cambiar de la opción inicial después de que el presentador del juego haya abierto una de las dos puertas restantes.

La situación en la etapa final del juego no es la misma que enfrenta el trasero de Buridan

La información que podemos utilizar para nuestro beneficio está disponible

Al darse cuenta del efecto sutil que la disponibilidad de información puede tener sobre las posibilidades tomar la mejor decisión en esta situación es la clave para entender la mejor estrategia. Esto se describe en Bayes teorema en la teoría de la probabilidad matemática, que relaciona la probabilidad actual con la probabilidad previa.

El hecho de que muchas personas, si no la mayoría, incluidas algunas con conocimientos matemáticos, encuentran esto difícil de creer y, en algunos casos, lo rechazan con vehemencia, es bastante notable. La razón parece ser porque no pueden aceptar que podría haber alguna diferencia en la posibilidad de ganar si se apegan a su elección original o cambian de opinión. En términos de posibilidades de ganar, ambas opciones a menudo se perciben como iguales. Irónicamente, al apegarse a la elección original, las posibilidades de ganar son en realidad mucho menores que incluso; pero al cambiar, las posibilidades son mucho mayores que incluso.

Una historia de dos realidades

Lo que escapa a la atención de muchas personas es que realmente hay dos realidades distintas o puntos de vista , presente en este juego. Un concursante que comenzó el juego con la opción de tres puertas y que fue testigo de cómo el presentador del programa abrió una puerta para revelar una cabra, no comparte la misma realidad que un segundo concursante hipotético que se une al juego en la última etapa. Se puede ver que este segundo concursante solo tiene la opción de elegir entre dos puertas, sin otra información disponible, ajena a lo que ha sucedido de antemano. El segundo concursante no sabe cuál de las dos puertas restantes fue seleccionada inicialmente por la primera.

El problema es que muchas personas se ven a sí mismas en la posición del segundo concursante, y no del primero; Y esto es un error. El primer concursante tiene más información disponible sobre la situación que el segundo, y puede usar Bayes & # 39 de manera efectiva; teorema para aumentar las posibilidades de ganar el auto.

El hecho de que las posibilidades de ganar son mayores si el concursante siempre cambia de opinión, puede explicarse de manera bastante simple. La probabilidad de elegir la puerta correcta al principio es 1/3. Y, lo que es más importante, las posibilidades de elegir la puerta equivocada con la selección inicial son 2/3. Ambas probabilidades aquí deben, por supuesto, sumar una, ya que solo hay dos resultados posibles.

Si elige una puerta en particular y se queda con ella, esto significa que la probabilidad de ganar, incluso después de tener la oportunidad de cambiar de opinión, permanece fija en 1/3.

Después de que el presentador del juego haya abierto una de las puertas para revelar una cabra, la suma de las probabilidades de ganar si te quedas con tu elección original o cambias de opinión y eliges la puerta restante También debe sumar uno. Con esto en mente, la probabilidad de ganar si cambia de opinión es, por lo tanto, 2/3. En otras palabras, ¡tienes el doble de posibilidades de ganar si cambias de opinión en comparación con si te quedas con tu elección original!

El efecto de cambiar de opinión en la última etapa es aún más dramático en las versiones del juego con más de tres puertas. Por ejemplo, con 100 puertas, sus posibilidades de ganar son 99% si sigue esta estrategia.

Algunas similitudes con los misiles guiados y la mecánica cuántica

Optimizando su tasa de éxito o mejorando la toma de decisiones a la luz de Los nuevos datos o información no se limitan solo a las estrategias para ganar programas de juegos. Los sistemas de guía de misiles, por ejemplo, usan algo llamado filtro de Kalman. Aquí, la mejor estimación de la posición del misil (equivalente a la elección de la puerta con la mayor probabilidad de éxito en el problema de Monty Hall) implica hacer una estimación inicial utilizando una programación de computadora corriendo dentro del misil y luego actualizando la estimación cuando haya más información disponible de los sensores de medición del misil.

Tanto la predicción de la computadora como el valor del sensor de medición tienen incertidumbre asociada a ellos. El filtro Kalman combina la estimación inicial por computadora con la información adicional de los sensores de medición para producir la mejor estimación posible, es decir, la que tiene la menor cantidad de incertidumbre asociada. Esto es análogo a elegir la puerta en el problema de Monty Hall con la menor probabilidad de falla, lo que le brinda la mayor posibilidad de ganar el automóvil.

El problema de Monty Hall incluso puede verse en términos del extraño mundo de la mecánica cuántica. Inicialmente, una función de onda probabilística distribuye el automóvil de manera uniforme detrás de las tres puertas (o sin importar cuántas puertas se usen en el juego). En el caso de tres puertas, la situación se puede interpretar de manera que inicialmente haya 1/3 de automóvil detrás de cada puerta. En general, a medida que se abren más puertas y se da más información, la función de onda '' colapsa '' y el auto se ve como más localizado. La probabilidad de que esté detrás de una puerta específica aumenta. En versiones del juego con muchas puertas, esta probabilidad tiende cada vez más hacia una.

Conclusión

El problema de Monty Hall, por toda la simplicidad en su descripción, ha demostrado ser una veta rica para aprovechando algunos conceptos profundos en teoría matemática de probabilidad y física cuántica, sin mencionar también filosofía y psicología.

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