Determinar el número de permutaciones
Primero dejemos s dejar en claro qué es una permutación. Es una forma única de ordenar o elegir varios objetos. Por ejemplo, si tuviéramos tres letras ABC, podríamos ordenarlas como ABC o BCA. Estas serían dos permutaciones diferentes. Una tercera permutación sería CAB. Lo que necesitamos saber es cuántas permutaciones de estos objetos hay.
Si tenemos tres objetos, como tres letras, tenemos 3 opciones posibles para el primer objeto, esto deja 2 objetos y dos opciones para la segunda opción, y 1 objeto para la tercera opción. Entonces tenemos 3 veces 2 veces 1 permutaciones posibles para un resultado de 6. Si comenzamos con 4 objetos, habría 4 veces 3 veces 2 veces 1 o un total de 24 permutaciones posibles. Esta operación ocurre con la frecuencia suficiente para que tenga su propio nombre y se llama factorial, y el operador es el signo de exclamación. Entonces 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Esto se lee como «cuatro factorial» igual 24.
En general, si dejamos n ser el número de objetos, entonces n! = n (n-1) (n-2) (n-3) … 1. Cada término en la multiplicación es uno menos que el anterior hasta que se alcanza el valor de uno. La única excepción a esta regla es cuando n = 0. En este caso, el factorial de 0 es, por definición, igual a 1.
Supongamos que solo queremos seleccionar 2 de los 3 objetos. En este caso, tendríamos 3 opciones para el primer objeto y 2 para el segundo, para un total de 6 permutaciones. Si hubiéramos comenzado con 4 objetos y solo quisiéramos seleccionar 2, el número de permutación sería 4 para la primera opción y 3 para la segunda opción para un total de permutaciones 12.
En los dos ejemplos anteriores, para encontrar el número de permutaciones de n objeto tomado 2 a la vez, multiplicamos los primeros 2 números del factorial. Es decir, para 3 usamos 3 y 2, y para 4 usamos 4 y 3. Vamos a centrarnos en el caso de 4 objetos tomados 2 a la vez. ¡En este ejemplo usamos los dos primeros números, 4 y 3 de 4! ¡Los números restantes de 4! son 2 y 1 o 2! En general, para n objetos n! dividido por (nk)! donde k es el número de objetos que tomamos del total de n objetos. Entonces, para este ejemplo 4! dividido por (4-2)! Que es (4 3 2 1) / (2 1) y es igual a 12.
¡Entonces el número de permutaciones de n objetos tomados k a la vez es n! / (Nk)! Eso es n factorial dividido por n menos k factorial, recuerde que k es el número de objetos que estamos tomando de n objetos. Hagamos un ejemplo más y comencemos con 5 objetos y tomemos 3 a la vez. ¡Para el numerador sería 5! Y para el denominador sería 5 menos 3 factorial o 2 factorial. ¡Entonces la expresión es 5! dividido por 2! Lo que reduce a 5 4 3 e iguala 60 las permutaciones de 5 objetos tomados 3 a la vez.
