Conexiones inesperadas en matemáticas: Descartes, álgebra y geometría

Una propiedad notable del mundo matemático es que a veces hay conexiones inesperadas dentro de diferentes áreas del mundo de las matemáticas. A menudo, un matemático estudiará un área de las matemáticas, se dará cuenta de que hay correlaciones directas con las propiedades de otra área de las matemáticas y conectará las dos para encontrar nuevas propiedades sobre cada área.

Puede haber visto esto de primera mano si alguna vez estudió álgebra o geometría.

¿Recuerdas el plano cartesiano, el gráfico de los ejes x e y que te permite dibujar una representación de una ecuación?

Si es así, esto, que puede parecer simple para nosotros, fue una innovación crucial que permitió que ocurrieran las revoluciones tecnológicas de la era industrial. Literalmente jugó un papel central en introducirnos en la era industrial.

¿Cómo es eso?

Antes de Descartes, los mundos de álgebra y geometría se consideraban distintos. Álgebra, para describirlo de manera simplificada, estudia las propiedades de las relaciones entre los números, y la geometría estudia las propiedades de las formas físicas.

Lo que hizo Descartes fue descubrir una conexión natural entre estos dos mundos. Descubrió que el mundo de la geometría, el mundo de las formas, el mundo de las imágenes, proporciona una forma natural de expresar el mundo del álgebra. Nos permite visualizar realmente las relaciones entre números, trazándolos como puntos en un gráfico.

Entonces podemos usar nuestra comprensión de la geometría – de las formas – para comprender el comportamiento de las ecuaciones abstractas, generalizaciones de números.

La conexión básica entre los dos es la línea numérica, que representa números reales, como 1, -1/2 y pi, en una línea. La línea tiene una dirección natural: izquierda y derecha. Del mismo modo, los números reales tienen una dirección natural hacia ellos: cada vez más pequeños, o negativos y positivos.

Sin embargo, a diferencia de los números reales, la recta numérica nos da una visualización concreta, una imagen para imaginar en nuestras mentes. Y esta imagen sirve como una forma perfecta de representar los números reales.

Esta conexión nos parece tan simple ahora, pero en el momento de Descartes, fue revolucionaria. Descartes La conexión también nos permite representar pares de números reales, como el eje (x, y), en 2 dimensiones, y tripletas de números reales, como el eje (x, y, z), en 3 dimensiones. Todo esto nos parece sentido común ahora, pero en la época de Descartes, fue inesperado y revolucionario.

Permitieron a Newton formular sus leyes de física, lo que a su vez nos dio la comprensión necesaria para entrar en la Era Industrial.