Teoría de grupo, simetrías y mecánica cuántica

En matemáticas, a menudo encontramos conexiones inesperadas entre un descubrimiento matemático y un fenómeno del mundo real. Un ejemplo de ello es la conexión entre el estudio de la simetría: en términos matemáticos, llamamos a esto «teoría de grupos». – y la mecánica cuántica, es decir: la forma en que se comportan las partículas subatómicas como los electrones. Exploremos la teoría de grupos antes de profundizar en la forma en que está conectada a la mecánica cuántica.

& quot; Teoría de grupos & quot; – Llamémoslo el «estudio matemático de simetría». – se originó cuando algunos matemáticos muy dedicados, Lagrange y Gauss, comenzaron a investigar las permutaciones. Una buena ilustración de una permutación es barajar un mazo de cartas: un mazo de cartas tiene 52 cartas, y si queremos reorganizar las cartas, podemos barajarlas, a mano o usando una máquina.

Mezclar las cartas hace que el orden de las cartas sea aleatorio; esto es importante para los juegos de cartas como el póker porque garantiza que el juego sea justo.

Ahora, si lo piensas, hay algunos tipos diferentes de barajaduras:

-Hay el '' no barajar '', donde no hacemos t baraja las cartas, pero déjalas en su lugar.

-Hay el '' anti-shuffle '' – si tomamos una baraja de cartas, las barajamos, luego las devolvemos al orden original, esto sería un «anti-barajado».

-Y hay una barajadura doble: si barajamos las cartas una vez, las barajamos de nuevo, esto sería una barajadura doble. Da el mismo resultado que una barajadura única, ya que las cartas son aleatorias, pero la barajadura doble viene de barajar dos veces, no una.

¿Suena bastante simple?

Esto ilustra todos los conceptos básicos de lo que los matemáticos estudian como permutaciones: en términos matemáticos, el «no barajar» de una baraja de cartas se llama « permutación de identidad '': deja todo en su lugar original.

El '' anti-shuffle '' es un ejemplo de lo que los matemáticos llaman la «permutación inversa»: toma una combinación aleatoria y no lo hace, por lo que las tarjetas se devuelven a su lugar original.

Y la «baraja doble», donde barajamos un par de cartas dos veces, es un ejemplo de una permutación repetida, una permutación que se produce como resultado de dos o más permutaciones. Mezclar las cartas dos veces da como resultado un orden de cartas que podría provenir de una sola barajadura, por lo que podemos considerar la «barajadura doble». como un tipo especial de barajado.

Probablemente pueda pensar en otros ejemplos de reorganización de elementos: por ejemplo, en un seminario, si todos se levantan de su asiento durante un descanso, luego regresan a un nuevo asiento después del descanso, esto sería Otro ejemplo de permutación.

Entonces podemos comenzar a pensar en una permutación en términos más abstractos, no solo como un ejemplo específico de reordenamiento o reordenamiento, sino como un concepto en sí mismo.

Esto es a lo que los matemáticos se refieren como «teoría de grupos». Resulta que la teoría de grupo nos da el lenguaje ideal, el marco ideal, para discutir el comportamiento de los electrones, como veremos.