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Mínimos cuadrados es el concepto detrás del ajuste de curvas, la regresión e incluso la media

julio 30, 2020
profesor-de-matematicas - matematicas aplicadas 1024x858

El concepto de “mínimos cuadrados” se utiliza en estadísticas para obtener el mejor ajuste entre los datos y una función que intenta predecir los valores de los datos. Es decir, las diferencias entre los valores predichos por la función y el valor real de los datos son al cuadrado, y luego se suman estas diferencias al cuadrado. La función se modifica hasta que se minimiza la suma de estas diferencias al cuadrado. La mejor manera de explicar esto es hacer un ejemplo.

Comencemos con un simple ejemplo unidimensional. Elija s elija tres constantes 1, 2 y 9, y busque un número x que sea el valor de mínimos cuadrados de estos tres números. La diferencia entre x y 1 sería x-1, y este número al cuadrado sería (x-1) ^ 2. Del mismo modo para dos sería (x-2) ^ 2 y para 9 sería (x-9) ^ 2. La suma de estos cuadrados es:

f (x) = (x-1) ^ 2 + (x-2) ^ 2 + (x-9) ^ 2

Lo configuramos igual a f (x) para que sea una función. Necesitamos encontrar un valor de x tal que f (x) sea el menor valor posible. Este será el “mínimo cuadrado” valor de x. Llevemos a cabo el álgebra al cuadrar cada uno de los términos para obtener esto:

f (x) = (x ^ 2 – 2x + 1) + (x ^ 2 – 4x + 4) + (x ^ 2 – 18 x + 81)

Combinando términos similares obtenemos esto:

f (x) = 3x ^ 2 – 24 x + 86

Si evaluamos esta función para x = 4, obtenemos:

f (4) = 3 (4) ^ 2 – 24 (4) + 86 = 38

Podemos demostrar empíricamente que 38 es el menor valor de f (x), y ocurre cuando x = 4. Es decir, no podemos encontrar un valor de x que produzca un valor de f (x ) que es menor que 38. Resulta que 4 es la media de los tres valores con los que comenzamos, 1, 2 y 9.

Si tuviéramos que generalizar f (x) podríamos decir que es:

f (x) = (x – a) ^ 2 + (x – b) ^ 2 + (x – c) ^ 2

donde a, byc pueden representar tres números . Si llevamos a cabo el álgebra como antes obtenemos:

f (x) = (x ^ 2- 2xa + a ^ 2) + (x ^ 2 – 2xb + b ^ 2) + (x ^ 2 – 2xc + c ^ 2)

Combinando términos similares obtenemos:

f (x) = 3x ^ 2 -2x (a + b + c) + a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2

Ahora recurrimos al cálculo y tomamos la primera derivada de f (x) con respecto a x obtenemos:

f (x) = 6x – 2 (a + b + c)

configurando f (x) igual a cero para encontrar el valor mínimo obtenemos:

0 = 6x – 2 (a + b + c)

luego:

6x = 2 (a + b + c)

o,

x = (a + b + c) / 3

Es decir, el menor valor cuadrado de cualquiera de los tres números es la suma de esos números divididos por tres Hasta ahora siempre pensamos en esto como la media de tres números, pero ahora hemos aprendido que en realidad es el valor de mínimos cuadrados de un conjunto de números.

La idea de “ mínimos cuadrados '' se usa en regresión lineal para encontrar una línea recta que mejor se ajuste a un conjunto de pares xy, y ajuste de curva para regresión no lineal.

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