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Infinito: explorando este enigma sin fin

marzo 15, 2020
profesor-de-matematicas - matematicas financieras aplicadas

Infinito

Una cantidad bastante grande. Y un concepto que podríamos haber encontrado, y posiblemente luchado, en un curso de matemática ocasional.

¿Pero por qué molestarse en hablar de eso? El infinito apenas parece relevante para los asuntos prácticos de nuestro día normal, o incluso nuestros días anormales.

Bueno, posiblemente, pero el infinito plantea una gran intriga intelectual. Por lo tanto, unos minutos con el infinito deberían proporcionar un fuerte desafío mental y un desvío de las tribulaciones de nuestro día normal. Al menos lo suficiente como para justificar unos minutos de consideración.

Y descartar el infinito como irrelevante pierde al menos un aspecto relevante del concepto.

Dios.

Creyente o no, buscador de fe o no, detestador del concepto o no, Dios, ya sea como un objeto de fe, o una pregunta fundamental, o una ilusión irracional, Dios se perfila como inevitable. Dios sirve como guía para nuestra vida, o plantea preguntas que atormentan nuestras mentes, o permanece como un concepto anticuado nacido de la historia antigua en tiempos pre-científicos.

Y un principio importante en la mayoría de las teologías, y en la filosofía en general, apunta fundamentalmente a un Dios infinito: infinito en existencia, infinito en conocimiento, infinito en poder, infinito en perfección.

Entonces, como una distracción pasajera, pero intrigante, y como un atributo de una figura espiritual profundamente arraigada en nuestra cultura y nuestra psique, el infinito proporciona un tema que vale unos minutos de nuestro tiempo.

Vamos a empezar.

¿Qué tan grande es el infinito?

Pregunta extraña, correcto. El infinito se destaca como la mayor cantidad posible.

Pero dejemos que profundice un poco. Deberíamos aplicar un poco de rigor al examen del tamaño del infinito & # 39.

Considere números enteros, los números uno, dos, tres y arriba, y también menos uno, menos dos, menos tres y abajo. Podemos dividir enteros en pares e impares. Conocimiento común.

Pero dejemos que s considere una pregunta no tan obvia, una pregunta que podría haber encontrado. ¿Cuál es más grande, todos enteros o incluso enteros? La respuesta rápida diría que el grupo de todos los enteros excede el grupo de los enteros pares. Podemos ver dos enteros por cada entero par.

Sin embargo, si hemos estudiado esta pregunta anteriormente, sabemos que la respuesta es incorrecta.

Ni el infinito es más grande; el infinito de todos los enteros es igual al infinito de todos los enteros pares. Podemos demostrar esto mediante una coincidencia. Específicamente, dos grupos tienen el mismo tamaño si podemos hacer coincidir cada miembro de un grupo con un miembro del otro grupo, uno a uno, sin que quede ningún miembro sin igualar en ninguno de los grupos.

Deje que & # 39 intente una coincidencia aquí. Por simplicidad, tomaremos enteros positivos y enteros positivos. Para comenzar la coincidencia, tome uno del conjunto de todos los enteros positivos y combine eso con dos del conjunto de todos los enteros pares positivos, tome dos del conjunto de todos los enteros positivos y combine eso con cuatro del conjunto de enteros pares positivos, y así.

En la primera reacción, podríamos intuir que esta coincidencia agotaría los enteros pares primero, con miembros del conjunto de todos los enteros restantes, sin comparación. Pero ese pensamiento reflexivo proviene de nuestra abrumadora experiencia de conjuntos finitos y acotados. En un emparejamiento uno a uno de los granos de arroz en una bolsa de dos libras con los de una bolsa de una libra, ambos conjuntos finitos, esperamos que la bolsa de una libra se quede sin granos de arroz antes de la bolsa de dos libras.

Pero el infinito opera de manera diferente. Un conjunto infinito nunca se agota. Por lo tanto, a pesar de que una coincidencia uno a uno de todos los versos enteros, incluso los enteros, sube por el lado de los enteros más rápido, los enteros pares nunca se agotan. Infinity nos presenta características contrarias a nuestra experiencia diaria llena de conjuntos finitos.

Y así con fracciones. El conjunto infinito de todas las fracciones no excede el conjunto infinito de todos los enteros. Esto realmente arroja una curva contra intuitiva, ya que no podemos idear fácilmente una coincidencia uno a uno. ¿No serían tan numerosas las fracciones entre cero y uno que no se pueden crear coincidencias? Pero eso estaria mal.

Para ver por qué, permítanme sugerir una búsqueda web, en la siguiente frase, «bijection números racionales números naturales». Los números racionales, es decir, las razones, son las fracciones, y los números naturales son los enteros. La coincidencia continúa con 45 marchas de grados hacia abajo y hacia atrás una cuadrícula de los números racionales, es decir, fraccionarios.

Un infinito más grande

Ahora podríamos concluir que el infinito se mantiene invicto, y que ningún conjunto, por más construido que sea, escaparía al rigor de la coincidencia uno a uno.

Si ha estudiado esta pregunta anteriormente, sabe que no se cumple. El conjunto de números reales, es decir, números con dígitos a la derecha de un punto decimal, excede el conjunto de todos los enteros.

Sin embargo, espera. Si ejercemos suficiente inteligencia, ¿podríamos encontrar una coincidencia de números reales con enteros?

No. Existe una prueba, bien examinada, de que no podemos encontrar una coincidencia. Podemos agradecer al matemático Georg Cantor y a los matemáticos que lo siguen por el desarrollo riguroso de cómo funciona el infinito.

Ahora la prueba. Tome el primer entero, uno, y haga coincidir eso con el número real 0. 0111111 … donde los dígitos de uno se extienden hacia la derecha para siempre. Eso cae dentro de las propiedades de los números reales, que no existe límite para el número de dígitos en la porción decimal.

Tome el segundo número entero, dos, y coincida con el número real, 0. 1011111 … donde el dígito uno se repite a la derecha para siempre. Tome tres y combine eso con 0. 1101111 … nuevamente con el dígito uno repitiendo a la derecha para siempre. Proceda de manera similar con cada número entero. De esta manera, al colocar un cero en la ranura correspondiente a la posición decimal derecha igual al número entero que se coincide, hacemos coincidir cada número entero con un número real único.

Ahora podemos construir un número real que no esté en la correspondencia, a través de un proceso llamado diagonalización.

Comience con el número entero y elija un dígito que no esté en la primera posición a la derecha del decimal del número real coincidente. Elija escoja 2, ya que eso difiere del cero en la primera posición correcta en el número real que acabamos de emparejar con uno.

La primera posición de nuestro número real (potencialmente) no coincidente contiene un 2 justo a la derecha del decimal.

Ahora considere el número entero dos, y elija un dígito que no esté en la segunda posición correcta del número real coincidente. Elija s escoja 3. Coloque ese dígito en la segunda posición a la derecha del decimal del número real que buscamos construir. Ese número real ahora comienza con 23 Continuamos la secuencia. Marchamos a través de los enteros, y en la posición con el cero en el número real coincidente, colocamos alternativamente 2 y 3 en la posición correspondiente del número real que parecemos no coincidir.

Procedemos por este proceso, que avanza diagonalmente hacia abajo en las posiciones de los números coincidentes. En este ejemplo, creamos el número real 0. 2323232 … con 2 y 3 alternando para siempre. Que por construcción no radica en los números reales que emparejamos con enteros, ya que nuestro número real construido 0. 23232 … contiene un dígito que no está presente en ningún número real emparejado.

De importancia, este proceso de diagonalización funciona independientemente de cualquier coincidencia que intentemos. Siempre podemos construir un número real seleccionando secuencialmente un dígito que no esté en cada número real del intento de coincidencia.

¿Por qué en términos generales funciona esto? Los números reales, en un sentido informal, presentan un doble desafío. Los números reales primero se extienden hacia arriba en tamaño infinitamente, a cantidades cada vez mayores, y se extienden hacia abajo infinitamente, dividiendo los números en distinciones cada vez más pequeñas, infinitamente. Esta doble extensión permite que los números reales superen a los enteros e incluso a las fracciones.

A Bigger Infinity

No hemos terminado con los tamaños del infinito

Para explorar estos tamaños crecientes, debemos introducir conjuntos de potencia. Hasta ahora en esta discusión, nuestros conjuntos han consistido en números. El conjunto de enteros comprendía un conjunto de todos los números naturales o contables, el conjunto de fracciones comprendía un conjunto de todos los números resultantes de la división de dos enteros, el conjunto de números complejos (no discutido aquí, pero utilizado como ejemplo) comprende números que contiene la raíz cuadrada de la negativa.

Los conjuntos pueden contener otras cosas, por supuesto. Podemos construir el conjunto de ciudades que han ganado campeonatos deportivos profesionales, o el conjunto de individuos que han escalado el Monte Everest. Los conjuntos pueden contener conjuntos, por ejemplo, el conjunto de los dos conjuntos de miembros que comprenden un número entero y su cuadrado. Este conjunto equivale a {(1,1), (2,4), (3,9), …}.

Los conjuntos pueden ser subconjuntos de conjuntos. El conjunto de ciudades que han ganado campeonatos en cuatro o más deportes profesionales representa un subconjunto de los que han ganado campeonatos en cualquiera de los deportes. El conjunto de enteros que son cubos enteros (digamos 8 o 27 o 64) representa un subconjunto del conjunto de todos los enteros.

El conjunto de potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. En otras palabras, tome los miembros de un conjunto y luego construya todas las combinaciones únicas, de cualquier longitud, de esos miembros.

Por ejemplo, para el conjunto (1,2,3) existen ocho subconjuntos. Uno es el conjunto vacío, el conjunto sin nada. (Sí, un conjunto que no contiene nada comprende un conjunto válido). Los otros subconjuntos se enumeran de la siguiente manera: {1}, {2}, {3}, {1,2}, (1,3}, (2,3}, (1,2,3}. El conjunto de poder del conjunto (1,2,3) contiene esos ocho miembros. Nota (3,2) no cuenta como un subconjunto, ya que (3,2) simplemente voltea los miembros de el subconjunto (2,3). Reorganizar los miembros del conjunto no cuenta como único para los conjuntos de potencia.

Los conjuntos de potencia crecen rápidamente en tamaño. El conjunto de potencia de los primeros cuatro enteros contiene 16 miembros; de los primeros cinco enteros, 32 miembros; los primeros diez, 1, 024 miembros. Si así lo desea, uno podría enumerar estos subconjuntos en decir Excel. Don intente eso por cien enteros. La hoja de cálculo correría mil millones, billones, billones de celdas, o diez para el poder de treinta.

Podemos ver el siguiente paso. Tome el conjunto de potencia del (conjunto infinito) de enteros. Si el conjunto de potencia del primero 100 los enteros se ciernen grandes, el pow El conjunto de todos los enteros debe ser realmente grande. ¿Cuan grande? ¿Cuántos miembros residen en el conjunto de potencia de todos los enteros?

Un infinito mayor que el infinito de los enteros.

Deje que s demuestre intentando unir el conjunto de enteros con su conjunto de potencia.

Haga coincidir el número entero con un subconjunto que tenga todos los números enteros excepto uno. Haga coincidir dos con un subconjunto que tenga todos los enteros excepto dos. Haz lo mismo por tres. Todos los enteros ahora coinciden con un subconjunto diferente y, si lo pensamos bien, esos subconjuntos son de tamaño infinito. ¿Cómo? Hemos especificado que cada conjunto coincidente sea todos los enteros excepto un solo miembro, y un conjunto infinito menos un miembro permanece infinito.

Así que hemos combinado cada número entero con un elemento de subconjunto de tamaño infinito dentro del conjunto de potencia. ¿Qué queda sin igual? Cualquier subconjunto de enteros de un tamaño finito. Por lo tanto, nuestra coincidencia muestra el conjunto de potencia de los enteros de mayor tamaño que solo los enteros.

Y encendido y encendido

Sin demostración, la potencia se establece de enteros es igual, en tamaño, al número de números reales. Digo sin demostración, ya que la prueba involucra un poco de matemática.

Pero deje que & # 39 se mueva hacia arriba. Si postulamos el conjunto de potencia del conjunto de enteros, podemos postular el conjunto de potencia de números reales. Y sí, al igual que el conjunto de números enteros contiene más miembros que el conjunto de enteros en sí, el conjunto de números reales contiene más miembros que el conjunto de números reales.

Podemos imaginar esto a través de una consideración aproximada de las líneas numéricas, solo una imagen que podamos captar. Toma una recta numérica de números reales. Esa línea numérica se extiende en ambas direcciones, y los puntos en la línea representan los números reales.

Podemos marcar nuestro mundo tridimensional normal tomando tres rectas numéricas y cruzándolas en ángulo recto. Estas tres líneas cruzadas crean ejes que marcan la altura, el ancho y la profundidad familiares de nuestra experiencia diaria.

Pero ahora cruza no solo tres líneas de números reales, sino un número infinito de líneas de números reales. No podemos visualizar fácilmente más de tres dimensiones, mucho menos infinitas, pero matemáticamente un espacio dimensional infinito es válido. Este cruce nos da un número infinito de infinitos. Si bien no es preciso, nuestras imágenes de un número infinito de líneas de números reales que se extienden infinitamente proporcionan una vista del conjunto de potencia de los números reales.

Podemos continuar. Podemos tomar conjuntos de potencia cada vez más grandes, infinitamente. Nuestra mente puede fallar al comprender esto, pero las matemáticas permanecen sólidas. Para cada conjunto infinito que podemos crear, podemos crear uno más grande al tomar ese conjunto de potencia. No existe límite para cuántos infinitos cada vez más grandes podemos crear.

Volver a lo finito

Pero ahora deja s ir por el otro lado. Haciendo lo infinito finito.

Considera esta famosa paradoja. Si le damos una ventaja a una tortuga, parece que nunca podremos ponernos al día. Para cuando llegamos a donde la tortuga residía anteriormente, la tortuga se ha movido. Y cuando llegamos a esa nueva posición de tortuga, la tortuga se ha movido más. La tortuga siempre llegará a una nueva posición por delante, a medida que avanzamos para alcanzar su posición anterior. Y esto continúa infinitamente. No puedes 39; t ponerse al día.

Pero, prueba esto en la vida real. Tal vez no con una tortuga, pero digamos un niño pequeño. Asumiremos, en la mayoría de los casos, que corre más rápido que el niño pequeño (si no considera un bebé en la etapa de gatear). Se pone al día. No hay problema. Cada vez. A pesar de que el niño pequeño o el bebé avanzan a medida que llega a su última posición, se pone al día.

¿Cómo resolvemos la paradoja? Cómo en la vida real nos ponemos al día, cuando en forma descriptiva siempre parecemos, infinitamente, estar detrás de un paso.

Lo hacemos al darnos cuenta de que una secuencia infinita puede alcanzar un límite finito.

Entonces, mientras que con los conjuntos de potencia expandimos el infinito a conjuntos cada vez más grandes, ahora tomaremos una secuencia infinitamente larga y cortaremos la secuencia hasta lo finito.

Considere el tiempo para ponerse al día. Supongamos que nos movemos dos veces más rápido que la tortuga / niño pequeño / bebé. Dale al perseguido una ventaja de dos segundos. Necesitamos un segundo para llegar a ese punto de inicio. La tortuga / niño pequeño / bebé avanza en este segundo, una distancia que podemos cubrir en medio segundo. En ese medio segundo, la tortuga / niño pequeño / bebé avanza una distancia que podemos cubrir en un cuarto de segundo.

Nuestro tiempo total para ponernos al día, si alguna vez lo hacemos, es igual a la suma de esos segundos fraccionarios, que disminuyen a la mitad para cada segmento de la carrera. Como ecuación, esta suma infinita de fracciones tiene el siguiente aspecto:

Tiempo = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

Esa secuencia se extiende para siempre . ¿Cómo podemos totalizar esta secuencia, ya que se extiende infinitamente? Implementamos un poco de inteligencia. Multiplique esta secuencia por la mitad en ambos lados. Es probable que algunos de ustedes hayan visto antes. Multiplicar por la mitad da lo siguiente.

½ Tiempo = ½ (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … o

½ Tiempo = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1 / 16 …

No mucha ayuda, al menos todavía no, ya que no sabemos más la suma de esta ecuación de la mitad que la ecuación original. Pero sustituya la ecuación de la mitad de nuevo en la ecuación original. En la ecuación original, la cadena de fracciones que comienza en ½ y yendo a la derecha, es igual a la cadena de fracciones en la ecuación de tiempo ½ *.

Sustituyendo, obtenemos así:

Tiempo = 1 + ½ Tiempo

Ahora reste ½ Tiempo de ambos lados para obtener

½ Tiempo = 1

Luego, multiplicando ambos lados por 2 resulta en

Tiempo (es decir, suma de series infinitas ) = 2

El tiempo para ponerse al día es igual a dos segundos. Si bien la recuperación matemática implica una secuencia infinita de fracciones más grandes y pequeñas, la secuencia infinita de esas fracciones se suma a un tiempo finito, es decir, dos segundos.

¿Es este un caso especial? No, la secuencia de sumas enteras positivas recíprocas representa otra serie infinita que suma a un número finito.

Primero, ¿cuál es la secuencia de sumas enteras positivas recíprocas? Comience con la secuencia de sumas enteras positivas. Como este nombre implica, la secuencia involucra sumas de enteros, y como secuencia implica sumar números crecientes de enteros. Entonces, la secuencia comienza el primer entero positivo, uno, y suma eso a 1. La secuencia luego toma los dos primeros enteros positivos, uno y dos, y suma los que dan 3. La secuencia toma los primeros tres enteros positivos, uno, dos y tres, y suma los que dan 6. Al hacer las adiciones, los siguientes elementos, después de 1,2 y 6, son iguales 10, 15, 21 y así.

Un recíproco es igual a dividir un número en uno. Entonces tomamos el recíproco de nuestras sumas enteras y luego nuestra secuencia se ve así:

Secuencia = 1 + 1/3 + 1/6 + 1 / 10 + 1 / 15 + 1 / 21 + …

A diferencia de la secuencia anterior para el momento para ponerse al día, no vemos forma de simplemente multiplicar la secuencia por un número para llegar a una coincidencia con la parte de la secuencia. En la secuencia de tiempo para ponerse al día, multiplicar por 1/2 dio una parte de la secuencia de origen. Ese enfoque no está disponible aquí.

Sin embargo, se puede utilizar otro enfoque. Toma el segundo elemento de 1/3. Eso equivale a dos veces (1/2 menos 1/3). Podemos ver eso al multiplicar los términos y luego encontrar un denominador común para permitir la resta. Dos veces (1/2 menos 1/3) es igual a 1 – 2/3, o 3/3 – 2/3, lo que da un tercio.

Ahora toma el 1/6. Eso equivale a dos veces (1/3 menos 1/4) que es 2/3 – 1/2, o 4/6 – 3/6, que da 1/6. Tome el 1 / 10. Eso equivale a dos veces (1/4 menos 1/5). Y así sucesivamente, la secuencia ahora se convierte en:

Secuencia = 1 + 2 (1/2 – 1/3) + 2 (1/3 – 1/4) + 2 (1 / 4 – 1/5) + …

Que con un poco de reordenamiento se convierte en

Secuencia = 1 + 2 1/2 + 2 (- 1/3 + 1 / 3) + 2 (- 1/4 +1/4)

Ahora vemos que las fracciones que comienzan en 1/3 forman un par, uno positivo y otro negativo, que suman cero. Todos esos términos que comienzan en 1/3 y van hacia la derecha suman así a cero, dejando los dos primeros términos, es decir, 1 + 2 (1/2) o 2.

Nuevamente, hemos tomado un infinito y producido un finito.

Considere una secuencia infinita final, la serie de Basilea. Esta serie comprende el recíproco no de sumas enteras sino de cuadrados enteros.

A diferencia de los dos ejemplos anteriores, la serie de Basilea no da como resultado una solución simple. Después de concebida en el siglo XVI, la serie permaneció sin resolver durante noventa años. Leonhard Euler finalmente encontró la suma, en parte usando la secuencia infinita para la función trigonométrica sin (x). Euler bien podría ser el mejor matemático de la historia, y ciertamente de su tiempo, y posiblemente el más prolífico en términos de publicación.

Los curiosos pueden buscar la Serie de Basilea para más detalles. Los verdaderos curiosos pueden buscar la prueba más bien entumecedora.

Dios e Infinito

El Catecismo de la Iglesia Católica , un depósito de sus enseñanzas centrales, exclama la naturaleza infinita de Dios, y lo hace varias veces. El párrafo 41 cita a Dios s infinito perfección, párrafo 43 Dios s infinito simplicidad, párrafo 270 Dios s infinita misericordia, párrafo 339 Dios & # ; s sabiduría infinita, y párrafo 1064 Dios amor infinito.

Los Apóstoles y los credos de Nicea, aceptados en muchas religiones cristianas comunes, comienzan con un decreto del poder omnipotente, también conocido como infinito, de Dios (# .

Una revisión de trabajos académicos en teología encontrará numerosos discursos (intentos) para resolver la tensión entre Dios y # 39 ; s infinitos (omnipotencia, o poder infinito; omnisciencia o conocimiento infinito; y omnibenevolencia, o misericordia infinita) y la omnipresente presencia del mal en nuestro mundo (¿Cómo puede un Dios misericordioso permitir la maldad?) y nuestro claro sentido del libre albedrío ( ¿Cómo puedo actuar libremente si Dios conoce mi futuro?)

Claramente, el infinito de Dios & # 39 se mantiene como Un concepto clave, y dilema, dentro de la fe religiosa.

Ahora permítanos s considerar imágenes cotidianas de un Dios infinito, imágenes que podemos haber desarrollado nosotros mismos, o escuchado predicado. En términos de la infinita misericordia de Dios, usted y yo, o digamos cualquier persona piadosa y pensante, podríamos concebir la misericordia de un Dios infinito tan grande como la misericordia de un número infinito de personas. Para el poder creativo infinito de Dios 39, podríamos imaginar ese poder suficiente para crear un número infinito de universos, o equivalente a un infinito Número de estrellas. En términos de conocimiento, podríamos ver un conocimiento infinito de Dios 39 tan grande como un número infinito de computadoras, o un número infinito de bibliotecas

Pero … Esas imágenes en realidad describen un pequeño infinito, un infinito equivalente aproximadamente al infinito de los enteros. La misericordia de Dios (equivalente a un número infinito de individuos) relaciona su misericordia con un número infinito de elementos discretos, personas. Podríamos hacer coincidir la colección (ciertamente infinita) de personas misericordiosas uno a uno con enteros. Y el poder creativo de Dios (como como equivalente a la creación de un número infinito de universos o poder de estrellas infinitas, se relaciona, nuevamente, La misericordia de Dios 39 de un conjunto (ciertamente infinito) de elementos discretos. Podríamos hacer una correspondencia uno a uno con enteros. Y así sucesivamente con un número infinito de computadoras o bibliotecas.

Aquí está la implicación. Dios como infinito en un sentido entero, como una secuencia infinita e infinita de elementos discretos no infinitos, permanece, de una manera sutil, tocable, concebible. Dios permanece como nosotros, o entidades a nuestro alrededor (universos, computadoras, estrellas, libros), pero solo infinitamente muchas más versiones de elementos discretos que podemos ver, tocar y concebir. Dios puede permanecer como Padre, Salvador, Creador, Predicador, Benefactor, ciertamente infinitamente perfecto e infinitamente numeroso, pero sin embargo infinitamente perfecto, versiones de elementos tangibles que podemos tocar, concebir, experimentar, reflexionar en nuestra vida cotidiana.

En otras palabras, Dios se parece a elementos en nuestro mundo, incluyéndonos a nosotros, de una manera perfecta, infinita e infinitamente numerosa.

Pero el infinito como una secuencia de elementos discretos, enteros, es igual al tamaño más bajo del infinito. Vimos que un número infinito de infinitos más grandes que el de los enteros se cierne sobre nosotros. El infinito de los enteros desciende a un infinito tan pequeño que ninguna analogía describe la pequeñez del infinito de los enteros en comparación con la jerarquía infinita de infinitos.

Considere solo la infinidad de números reales. Los números reales, por supuesto, se extienden hacia arriba al igual que los enteros. Pero se extienden hacia abajo, infinitamente, a una pequeñez más pequeña de lo que podemos concebir o experimentar. Podríamos tomar la partícula atómica más pequeña, dividir esa partícula un millón de veces por segundo por cada segundo del universo, y no estar más cerca del miembro más pequeño de los números reales que cuando empezamos.

Ahora toma el conjunto de potencia de números reales. Nos perdemos, no podemos imaginar fácilmente la infinita pequeñez de los números reales, y el conjunto de poder de los números reales se vuelve borroso, más que borroso, solo un miasma. Pero el infinito de Dios 39 es infinitamente más grande que el infinito del conjunto de números reales.

Cae una catástrofe, una catástrofe de comprensión y concebibilidad. Podríamos contemplar a un Dios como una colección infinita de artículos discretos concebibles. Dios asoma infinito, pero una versión infinita de una imagen comprensible, un Padre.

Ahora contempla un Dios mayor que el infinito del conjunto de poder de los números reales. Nuestra mente se marchita, retrocede. No podemos encontrar imágenes, no hay analogías.

Bajo este infinito expandido, Dios se vuelve intocable, extraño, desconocido, inconcebible. Y nuestro salto de fe deja el reino de la fe en un Dios infinito en extensión y perfección, pero una extensión y perfección de una entidad finita que podemos concebir, a algo frío, matemático, más allá de lo misterioso a misteriosamente amenazante, abstracto, sin corazón. Nuestra fe no reside en un Padre cálido, aunque infinito, sino en una entidad descrita mejor, y posiblemente solo, en el mundo rígido, esotérico y prohibitivo de la teoría de conjuntos de cantidades infinitas.

Usted no & 39; no está de acuerdo. Crees que este no es el caso. Dios creó al hombre a su imagen; ¿Cómo puede Dios retroceder más allá de nuestra concepción en una niebla matemática de infinitos infinitos?

Pero la lógica se vuelve inevitable, a pesar de nuestras protestas. La naturaleza del infinito, expandida por los grandes matemáticos, combinada con el infinito de Dios, como lo proclaman los grandes teólogos, crea un Dios abstracto, distante y duro. El Dios infinito se convierte en un Dios matemático, un Dios descrito en conjuntos de poder y teoría de números, una descripción que no ofrece consuelo.

Que luego identifica, claramente, el salto de fe. Saltamos a lo desconocido, no a un Dios imaginado como paternal y majestuoso, sino a un Dios inescrutable como las matemáticas más amenazantes que la mayoría de nosotros.

¿Pero es ahí donde terminamos?

No.

Let retroceda. Nuestra concepción de un Dios infinito, dentro de la comprensión moderna del infinito, se vuelve extraña, abstracta. Pero nuestra discusión sobre el infinito, y su análisis por parte de los matemáticos modernos, incluyó otro aspecto, el de la convergencia infinita, a veces, pero críticamente, hacia lo finito.

Así tenemos dentro de la extensión del infinito, partes de piezas, infrecuentes, pero aún presentes, que convergen a lo finito. Por lo tanto, poseemos un concepto, una imagen, una vista, con la cual tal vez no imaginamos a Dios en su totalidad, sino a un pedazo de Dios para ser nuestro Dios personal. Esa visión es paralela, imita, la convergencia de nuestras series infinitas a las finitas. Dentro de nuestro Dios, podemos imaginar, dentro de los infinitos inefables, una parte personal para cada uno de nosotros que emerge de las convergencias a lo finito.

No debemos excedernos aquí. La convergencia de un subconjunto de series infinitas no permite concluir que el infinito en su conjunto converge. O que esta convergencia de algunas series infinitas invalida la jerarquía infinita de infinitos crecientes. No.

Pero en lugar de extralimitarnos, debemos admitirlo. Debemos admitir, reconocer, que dentro de esta discusión, dentro de esta consideración de Dios como versos tocables infinitamente insondablemente intocables, no hablamos de Dios. Más bien hablamos de imágenes, analogías, comparación de conceptos humanos falibles, con Dios.

Y ahí radica el probable mensaje más importante. Debemos reconocer que poseemos, hablamos por turnos de imágenes de Dios. No conocemos al Dios real. Dios abarca el tiempo sin tiempo. La humanidad vive capturada en el tiempo. Dios habita fuera del espacio. La humanidad existe limitada por el espacio. Dios crea Los humanos simplemente descubren lo que Dios crea. Esas consideraciones nos obligan a darnos cuenta de que los humanos carecen de experiencias que les darían conocimiento del Dios real.

Entonces, si bien los conceptos modernos de infinito ponen en tela de juicio algunas imágenes familiares de Dios, los conceptos modernos de infinito en un nivel profundo ayudan a la fe. Los conceptos modernos de infinito, mientras son discordantes y obtusos, nos impiden, en ese momento, caer en la satisfacción de haber alcanzado a Dios. Las sacudidas nos sacuden de cualquier letargo que nuestras imágenes humanas falibles de Dios significan que hemos terminado nuestro viaje hacia Dios.

El infinito nunca termina. Nuestro viaje, o quizás más acertadamente nuestro vagar, hacia un Dios nunca termina. La exposición moderna del infinito, en lugar de amenazar una fe, nos recuerda que la fe implica no solo la creencia, sino un viaje.

El no creyente

Para el no creyente, Las complejidades del infinito pueden reforzar sus ya fuertes convicciones sobre la irracionalidad de una creencia en un Diety. Para un no creyente, la ciencia, la filosofía, las matemáticas, la razón, proporcionan una base más sólida para la verdad.

Sin embargo, el no creyente no podía descansar contento. Se enfrentan a sus propios dilemas con el infinito.

La historia proporciona un punto de contacto, la catástrofe ultravioleta de finales del siglo XX 19. En física clásica, el principio de equipartición dictaba que el objeto teórico llamado radiador de caja negra debería poseer energía infinita. Esto empujó a la física clásica a una crisis. Por otro principio de física de la roca de la cama, la conservación de la energía, estipulaba la imposibilidad de una fuente de energía infinita. La física se enfrentó a una contradicción catastrófica de un infinito.

Max Plank resolvió el enigma, al postular que la energía no se distribuía continuamente, sino de forma discreta pasos. Su mecánica cuántica resolvió el enigma.

Pero la mecánica cuántica generó, y continúa generando, sus propios dilemas del infinito. Una característica de la mecánica cuántica, el enredo, predice (y los experimentos verifican) un tipo de enlace infinitamente rápido entre partículas emparejadas. Dos partículas enredadas, que viajan en direcciones opuestas, permanecen unidas de tal manera que una medición de una partícula dicta instantáneamente el estado de la otra partícula. Enlace infinitamente rápido. Podemos escribir las matemáticas para los fenómenos, pero no podemos conceptualizar la realidad subyacente. Este infinito daña nuestro sentido común y equivale a una imagen no disponible.

Otro ejemplo. Los físicos luchan con el enigma del colapso de la función de onda cuántica. Para resolver el enigma, algunos físicos teorizan que cada evento cuántico genera un nuevo universo, muchos universos infinitos añadidos.

Abundan otros infinitos. La teoría de la inflación predice, en algunas versiones, series de Big Bangs que progresan infinitamente. La relatividad general predice un objeto de densidad infinita en el núcleo de un agujero negro. Para no quedarse fuera, la filosofía lucha con un retroceso infinito y las matemáticas con las implicaciones del teorema de incompletitud de Geodel & # 39.

El no creyente puede profesar que no se preocupe por estos acertijos; la razón los resolverá. Pero al declarar tal seguridad, ¿el no creyente no profesa una fe? Hasta la fecha, la ciencia, las matemáticas, la filosofía, las piedras angulares de la racionalidad, han producido nuevos acertijos esencialmente tan rápido como han abordado los viejos acertijos. Si Dios falla como un concepto de verdad, la racionalidad no podría fallar en última instancia como un proceso de verdad. ¿Puede la racionalidad escapar del destino de crear continuamente nuevos acertijos y encontrar nuevos infinitos, sin llegar nunca más allá de nada mejor que una descripción pragmática e interina, sin llegar a la verdad?

Solo por fe se puede decir que sí.

El infinito nos aturde, teístas, ateos o agnósticos.

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